Bayes teoremi tanımı

Bayes Teoremi nedir?

18. yüzyıl İngiliz matematikçi Thomas Bayes'in adını taşıyan Bayes teoremi, koşullu olasılığı belirlemek için matematiksel bir formüldür. Teorem, yeni veya ek kanıtlar verilen mevcut tahminleri veya teorileri (güncelleme olasılıkları) gözden geçirmek için bir yol sağlar. Finansta, Bayes teoremi potansiyel borçlulara borç verme riskini değerlendirmek için kullanılabilir.

Bayes teoremine Bayes Kuralı veya Bayes Yasası da denir ve Bayesci istatistik alanının temelini oluşturur.

Önemli Çıkarımlar

Bayes Teoremi, bir olayın tahmin edilen olasılıklarını yeni bilgiler ekleyerek güncellemenizi sağlar. Bayes Teoremi, 18. yüzyıl matematikçisi Thomas Bayes'ten sonra adlandırılmıştır.

Bayes Teoreminin Formülü

$\begin{matrix} P (bir | B) = \frac{P (bir ⋂ B)}{P (B)} = \frac{P (bir) \cdot P (B | bir)}{P (B)} \\ nerede: \\ P (bir) = A oluşma olasılığı \\ P (B) = B oluşma olasılığı \\ P (bir | B) = A'nın B olasılığı \\ P (B | bir) = A'nın B olasılığı \\ P (bir ⋂ B)) = Hem A hem de B'nin meydana gelme olasılığı \end{matrix} \ begin {align} & P \ left (A | B \ right) = \ frac {P \ left (A \ bigcap {B} right)} {P \ sol (B \ sağ)} = \ frac {P \ left (A \ sağ) cdotP \ sol (B} {P \ sol (B \ sağ)} \ & \ textbf {burada:} \ & P \ sol (A \ sağ) = \ text {A oluşma olasılığı } \ & P \ left (B \ right) = \ text {B oluşma olasılığı} \ & P \ left (A | B \ right) = \ text {A verilen B'nin olasılığı} \ & P \ left (B | A \ right) = \ text {A verilen B olasılığı} \ & P \ left (A \ bigcap {B} right)) = \ text {Hem A'nın hem de B'nin gerçekleşme olasılığı} \ \ end {hizalı}$ P (A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A) burada: P (A) = A oluşma olasılığı P (B) = B oluşma olasılığı P (A∣B) = Verilen BP'nin olasılığı (B∣A) = Verilen AP olasılığı (AP)) = Hem A hem de B'nin meydana gelme olasılığı

Bayes Teoremi Açıklandı

Teoremin uygulamaları yaygındır ve finansal alanla sınırlı değildir. Örnek olarak, Bayes teoremi, herhangi bir kişinin bir hastalığa sahip olma olasılığını ve testin genel doğruluğunu dikkate alarak tıbbi test sonuçlarının doğruluğunu belirlemek için kullanılabilir. Bayes teoremi, posterior olasılıklar üretmek için önceki olasılık dağılımlarını dahil etmeye dayanır. Önceki olasılık, Bayesci istatistiksel çıkarımda, yeni verilerin toplanmasından önceki bir olayın olasılığıdır. Bu, bir deney yapılmadan önce mevcut bilgilere dayanarak bir sonuç olasılığının en iyi rasyonel değerlendirmesidir. Posterior olasılık, yeni bilgiler göz önüne alındığında meydana gelen bir olayın gözden geçirilmiş olasılığıdır. Posterior olasılık Bayes teoremi kullanılarak önceki olasılık güncellenerek hesaplanır. İstatistiksel olarak, posterior olasılık, olay B'nin meydana geldiği göz önüne alındığında olay A'nın meydana gelme olasılığıdır.

Dolayısıyla Bayes teoremi, o olayla ilişkili olan veya o olayla ilişkili olabilecek yeni bilgilere dayanan bir olayın olasılığını verir. Formül, bir olayın gerçekleşme olasılığının varsayımsal yeni bilgilerden nasıl etkilendiğini görmek için de kullanılabilir; yeni bilgilerin doğru olduğu varsayılacaktır. Örneğin, 52 kartlık bir desteden tek bir kart çekildiğini varsayalım. Kartın bir kral olma olasılığı 4'e 52'dir, bu da 1/13 veya yaklaşık% 7, 69'a eşittir. Güvertede 4 kral olduğunu unutmayın. Şimdi, seçilen kartın bir yüz kartı olduğunu ortaya koyalım. Seçilen kartın bir yüz kartı olması nedeniyle bir kral olma olasılığı 4'e 12'ye bölünür veya destede 12 yüz kartı olduğu için yaklaşık% 33, 3'tür.

Bayes Teorem Formülünün Bir Örnekle Türetilmesi

Bayes teoremi basitçe koşullu olasılık aksiyomlarından kaynaklanır. Koşullu olasılık, başka bir olayın meydana gelmesi durumunda bir olayın olasılığıdır. Örneğin, basit bir olasılık sorusu şu soruyu sorabilir: "Amazon.com, Inc., (NYSE: AMZN) hisse senedi fiyatının düşme olasılığı nedir?" Koşullu olasılık bu soruyu bir adım ileriye taşıyarak: "Dow Jones Industrial Average (DJIA) endeksinin daha önce düştüğü göz önüne alındığında AMZN hisse senedi fiyatının düşme olasılığı nedir?"

B'nin gerçekleştiği göz önüne alındığında A'nın koşullu olasılığı şu şekilde ifade edilebilir:

A ise: "AMZN fiyatı düşer" ise P (AMZN), AMZN'nin düşme olasılığıdır; ve B: "DJIA zaten kapalı" ve P (DJIA), DJIA'nın düşme olasılığıdır; koşullu olasılık ifadesi "AMIA'nın bir DJIA düşüşü nedeniyle düşme olasılığı, AMZN fiyatının düşme olasılığı ve DJIA'nın DJIA endeksinde bir düşüş olasılığı üzerinde düşüş olasılığına eşittir.

P (AMZN | DJIA) = P (AMZN ve DJIA) / P (DJIA)

P (AMZN ve DJIA), hem A hem de B oluşma olasılığıdır. Bu aynı zamanda A'nın meydana gelme olasılığı ile aynıdır ve A'nın P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) olarak ifade edilen meydana gelme olasılığı B'nin meydana gelme olasılığı ile aynıdır. Bu iki ifadenin eşit olması, Bayes teoremine yol açar:

eğer, P (AMZN ve DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)

sonra P (AMZN | DJIA) = / P (DJIA).

P (AMZN) ve P (DJIA), Amazon ve Dow Jones'un birbirlerinden bağımsız olarak düşme olasılıklarıdır.

Formül, Amazon'da Dow'a kanıt verilen bir hipotez verildiğinde, P'nin (AMZN) kanıtını görmeden önce hipotez olasılığı ile P (AMZN | DJIA) kanıtını aldıktan sonra hipotez olasılığı arasındaki ilişkiyi açıklar.

Bayes Teoreminin Sayısal Örneği

Sayısal bir örnek olarak, % 98 doğru olan bir ilaç testi olduğunu düşünün, yani% 98'i ilacı kullanan biri için gerçek bir pozitif sonuç gösterir ve% 98'i, ilaç kullanmayanlar için gerçek bir negatif sonuç gösterir. ilaç. Sonra, insanların% 0, 5'ini ilacı kullandığını varsayın. Rastgele testlerde seçilen bir kişi ilaç için pozitifse, kişinin aslında ilacın kullanıcısı olup olmadığını görmek için aşağıdaki hesaplama yapılabilir.

(0, 98 x 0, 005) / = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) =% 19, 76

Bayes teoremi, bir kişi bu senaryoda pozitif test etse bile, aslında kişinin ilacın bir kullanıcısı olmadığının çok daha muhtemel olduğunu gösterir.

İçindekiler: