Değerleme seçenekleri zor bir iş olabilir. Şu senaryoyu inceleyin: Ocak 2015'te IBM hisse senedi 155 $ 'dan işlem gördü ve önümüzdeki bir yıl içinde yükselmesini beklediniz. IBM hisse senedinden 155 $ ATM vuruş fiyatıyla bir çağrı seçeneği satın almayı planlıyorsunuz ve yüksek bir satın alma fiyatıyla hisse senedi alımına kıyasla küçük bir opsiyon maliyetine (opsiyon primi) göre yüksek yüzde getiriden faydalanmayı bekliyorsunuz.
IBM'deki bu çağrı seçeneğinin gerçeğe uygun değeri ne olmalıdır?
Bugün, hızlı yanıtlar sağlayabilen Black-Scholes modeli ve binomial ağaç modeli de dahil olmak üzere seçeneklere değer vermek için birkaç farklı hazır yöntem mevcuttur. Fakat bu değerleme modellerine ulaşmanın altında yatan faktörler ve itici güç kavramları nelerdir? Bu modellerin konseptine dayanarak benzer bir şey hazırlanabilir mi?
Burada, Black-Scholes (BS) 'nin kökenleriyle yan yana bir karşılaştırma sağlayarak, seçenekler gibi bir varlık için bir değerleme modeli oluşturmak için bir çerçeve olarak kullanılabilecek yapı taşlarını, temel kavramları ve faktörleri ele alıyoruz.) model.
Kara Okullardan Önceki Dünya
Black-Scholes'tan önce, dengeye dayalı Sermaye Varlığı Fiyatlandırma Modeli (CAPM) yaygın olarak takip edildi. Getiriler ve riskler, yatırımcının tercihine bağlı olarak birbirleriyle dengelenmiştir, yani yüksek risk alan bir yatırımcının benzer oranda yüksek getiri (potansiyel) ile telafi edilmesi beklenmiştir.
BS modeli köklerini CAPM'de bulur. Fisher Black'e göre: “Sermaye Varlığı Fiyatlandırma Modelini, bir varantın hayatındaki her an, olası her hisse senedi fiyatı ve varant değeri için uyguladım.” Maalesef, CAPM varant (opsiyon) fiyatlandırma şartını yerine getiremedi.
Black-Scholes, arbitraj kavramına dayanan ve riske dayalı modellerden (CAPM gibi) bir paradigma değişikliği yapan ilk model olmaya devam ediyor. Bu yeni BS modeli geliştirme, CAPM stok iade konseptinin yerini, mükemmel korunan pozisyonun risksiz bir oran kazanacağı gerçeğinin kabulü ile değiştirdi. Bu, risk ve getiri değişikliklerini çıkardı ve riskten bağımsız kavram varsayımlarında değerlemelerin yapıldığı arbitraj kavramını oluşturdu; bu riskten korunan (risksiz) bir pozisyon risksiz bir getiri oranına yol açmalıdır.
Kara Okulların Gelişimi
Sorunu kurarak, ölçerek ve çözümü için bir çerçeve geliştirerek başlayalım. IBM'de ATM çağrı seçeneğine değer verme konusundaki örneğimize devam etmek için bir yıl ve 155 dolarlık bir fiyatla devam ediyoruz.
Bir çağrı seçeneğinin temel tanımına dayanarak, hisse senedi fiyatı grev fiyatı seviyesine ulaşmadıkça getirisi sıfır kalır. Bu seviyeden sonra, getiri doğrusal olarak artar (yani, altta yatan bir dolarlık artış, çağrı seçeneğinden bir dolarlık bir getiri sağlayacaktır).
Alıcının ve satıcının adil değerleme (sıfır fiyat dahil) konusunda hemfikir olduğu varsayılarak, bu çağrı seçeneği için teorik adil fiyat:
- Arama seçeneği fiyatı = 0 $, temelde <grev (kırmızı grafik) Arama seçeneği fiyatı = (temelde - grev), temelde ise> = grev (mavi grafik)
Bu, seçeneğin gerçek değerini temsil eder ve bir çağrı seçeneği alıcısının bakış açısından mükemmel görünür. Kırmızı bölgede, hem alıcı hem de satıcı adil bir değerlemeye sahiptir (satıcıya sıfır fiyat, alıcıya sıfır getiri). Bununla birlikte, değerleme zorluğu, alıcı olumlu bir getiri avantajına sahip olduğundan, satıcı bir zarara uğrarken (temel fiyatın grev fiyatının üzerine çıkması şartıyla) mavi bölge ile başlar. Burada alıcı sıfır fiyat ile satıcı üzerinde bir avantaj var. Satıcıyı aldığı riski telafi etmek için fiyatlandırma sıfırdan farklı olmalıdır.
Önceki durumda (kırmızı grafik), teorik olarak, satıcı tarafından sıfır fiyat alınır ve alıcı için sıfır getiri potansiyeli vardır (her ikisine de adil). İkinci durumda (mavi grafik), altta yatan ve ihtar arasındaki fark satıcı tarafından alıcıya ödenecektir. Satıcının riski bir yıl boyunca geçerlidir. Örneğin, altta yatan hisse senedi fiyatı çok yüksek hareket edebilir (diyelim ki dört ay içinde 200 $ 'a kadar) ve satıcının alıcıya 45 $ fark ödemesi gerekir.
Böylece, kaynar:
- Altta yatan fiyat grev fiyatını geçecek mi? Öyle ise, altta yatan fiyat ne kadar yükselebilir (alıcıya getiriyi belirleyeceği için)?
Bu, satıcı tarafından alınan büyük riski gösterir, bu da soruna yol açar - aldıkları risk için hiçbir şey almazlarsa neden birisi böyle bir çağrı satabilir?
Amacımız, hem sıfır ödeme bölgesinde (kırmızı) hem de doğrusal ödeme bölgesinde (mavi), bir yıl boyunca aldığı toplam risk için onu telafi edebilecek şekilde satıcının alıcıyı ücretlendirmesi gereken tek bir fiyata ulaşmaktır.. Fiyat hem alıcı hem de satıcı için adil ve kabul edilebilir olmalıdır. Değilse, haksız fiyat ödeme veya alma açısından dezavantajlı olan kişi piyasaya katılmayacak, böylece ticaret işinin amacını yenecektir. Black-Scholes modeli, hisse senedinin sabit fiyat varyasyonunu, paranın zaman değerini, opsiyonun grev fiyatını ve opsiyonun sona erme süresini dikkate alarak bu adil fiyatı oluşturmayı amaçlamaktadır. BS modeline benzer şekilde, kendi yöntemlerimizi kullanarak örneğimiz için bunu nasıl değerlendirebileceğimizi görelim.
Mavi Bölgede İçsel Değer Nasıl Değerlendirilir?
Belirli bir zaman dilimi içinde gelecekte beklenen fiyat hareketini tahmin etmek için birkaç yöntem mevcuttur:
- Yakın geçmişte benzer süredeki benzer fiyat hareketleri analiz edilebilir. Geçmiş IBM kapanış fiyatı, geçtiğimiz bir yıl içinde (2 Ocak 2014'ten 31 Aralık 2014'e kadar), fiyatın% 13.5 düşüşle 185.53 $ 'dan 160.44 $' a düştüğünü gösteriyor. IBM için% -13, 5'lik bir fiyat hareketi yapabilir miyiz? Ayrıntılı bir kontrol, yıllık en yüksek 199.21 $ 'a (10 Nisan 2014) ve yıllık en düşük 150.5 $' a (16 Aralık 2014 tarihinde) dokunduğunu gösteriyor. Bunları başlangıç günü, 2 Ocak 2014 ve kapanış fiyatı 185, 53 $ temel alarak, yüzde değişimi% + 7, 37 ile% -18, 88 arasında değişmektedir. Şimdi, varyasyon aralığı, daha önce hesaplanan% 13, 5'lik düşüşe kıyasla çok daha geniş görünüyor.
Tarihsel veriler üzerinde de benzer analiz ve gözlemler yapılabilir. Fiyatlandırma modeli geliştirmemize devam etmek için, gelecekteki fiyat değişimlerini ölçmek için bu basit metodolojiyi varsayalım.
IBM'in her yıl% 10 arttığını varsayalım (son 20 yıllık geçmiş verilerine dayanarak). Temel istatistikler, IBM hisse senedi fiyat değişiminin% + 10 civarında seyretme olasılığının, tarihsel fiyatların tekrarlandığı varsayılarak, IBM fiyatının% 20 artması veya% 30 azalmasından çok daha yüksek olacağını göstermektedir. Olasılık değerleriyle benzer geçmiş veri noktaları toplandığında, IBM'in hisse senedinin bir yıllık bir zaman diliminde genel olarak beklenen getirisi, olasılıkların ve ilişkili getirilerin ağırlıklı ortalaması olarak hesaplanabilir. Örneğin, IBM'in geçmiş fiyat verilerinin aşağıdaki hareketleri gösterdiğini varsayalım:
- (% -10)% 25 oranında, % 35 oranında% + 10, % 20 oranında% + 15, +% 20 % 10'unda, % + 5'inde% 25 ve% 5'inde (% -15).
Dolayısıyla, ağırlıklı ortalama (veya Beklenen Değer) şu şekildedir:
(% -10 *% 25 +% 10 *% 35 +% 15 *% 20 +% 20 *% 10 +% 25 *% 5 -% 15 *% 5) /% 100 = % 6.5
Yani IBM hisse senedinin fiyatının ortalama olarak her dolar için bir yıl içinde% + 6, 5 oranında geri dönmesi bekleniyor. Birisi IBM hisse senedini bir yıllık ufukta ve 155 dolarlık alış fiyatı ile satın alırsa, 155 * 6, 5% = 10, 075 dolarlık net getiri beklenebilir.
Ancak, bu hisse senedi iadesi içindir. Arama seçeneği için benzer beklenen getirileri aramamız gerekiyor.
Grev fiyatının altındaki çağrının sıfır getirisine dayanarak (mevcut 155 $ - ATM çağrısı), tüm negatif hareketler sıfır getiriyi üretirken, grev fiyatının üzerindeki tüm pozitif hareketler eşdeğer getiriyi sağlayacaktır. Arama seçeneği için beklenen getiri şu şekilde olacaktır:
(% -0 * % 25 +% 10 *% 35 +% 15 *% 20 +% 20 *% 10 +% 25 *% 5 -% 0 *% 5) /% 100 = % 9.75
Yani, bu seçeneği satın almak için yatırılan her 100 ABD Doları için (yukarıdaki varsayımlara dayanarak) 9, 75 ABD doları beklenebilir.
Bununla birlikte, bu hala içsel opsiyon miktarının adil değerlemesi ile sınırlı kalmaktadır ve opsiyon satıcısı tarafından ara dönemde meydana gelebilecek yüksek salınımlar için üstlenilen riski doğru bir şekilde yakalamamaktadır (yukarıda belirtilen iç içe yüksek ve düşük olması durumunda) Fiyat:% s). Gerçek değere ek olarak, alıcı ve satıcı tarafından hangi fiyat üzerinde anlaşmaya varılabilir, böylece satıcı bir yıllık zaman dilimini üstlendiği riski oldukça telafi eder?
Bu salınımlar büyük ölçüde değişebilir ve satıcı bunun için ne kadar telafi edilmek istediğine dair kendi yorumuna sahip olabilir. Black-Scholes modeli Avrupa tipi seçenekleri varsayar, yani son kullanma tarihinden önce egzersiz yapılmaz. Bu nedenle, ara fiyat dalgalanmalarından etkilenmez ve değerlemesini uçtan uca işlem günlerine dayandırır.
Gerçek gün ticaretinde, bu oynaklık opsiyon fiyatlarının belirlenmesinde önemli bir rol oynamaktadır. Yaygın olarak gördüğümüz mavi getiri işlevi aslında son kullanma tarihindeki getiridir. Gerçekçi olarak, opsiyon fiyatı (pembe grafik) her zaman getiriden (mavi grafik) daha yüksektir, bu da satıcı tarafından risk alma yeteneklerini telafi etmek için alınan fiyatı gösterir. Bu yüzden opsiyon fiyatı “prim” opsiyonu olarak da bilinir - esas olarak risk primini gösterir.
Bu, hisse senedi fiyatında ne kadar oynaklığın beklendiğine ve ne kadar beklenen değerin verileceğine bağlı olarak değerleme modelimize dahil edilebilir.
Black-Scholes modeli bunu verimli bir şekilde (tabii ki kendi varsayımları dahilinde) aşağıdaki gibi yapar:
C = S x N (d1) -X x E-rtn (d2)
BS modeli hisse senedi fiyat hareketlerinin lognormal dağılımını varsayar ki bu N (d1) ve N (d2) kullanımını haklı çıkarır.
- İlk bölümde S, hisse senedinin mevcut fiyatını gösterir. N (d1), hisse senedinin mevcut fiyat hareketi olasılığını gösterir.
Bu seçenek paraya girerse, alıcının bu seçeneği kullanmasına izin verirse, temel IBM stokundan bir pay alacaktır. Yatırımcı bugün egzersiz yapıyorsa, S * N (d1) opsiyonun bugünkü beklenen değerini temsil eder.
İkinci bölümde X, grev fiyatını gösterir.
- N (d2) hisse senedi fiyatının grev fiyatının üzerinde olma olasılığını temsil eder. Bu nedenle X * N (d2), grev fiyatının üzerinde kalan hisse senedi fiyatının beklenen değerini temsil eder.
Black-Scholes modeli, egzersizin yalnızca sonunda mümkün olduğu Avrupa tarzı seçenekleri varsaydığı için, yukarıda X * N (d2) ile temsil edilen beklenen değer, paranın zaman değeri için iskonto edilmelidir. Böylece, son kısım, zaman dilimi içinde faiz oranına yükseltilmiş üstel terimle çarpılır.
İki terimin net farkı, bugün itibariyle opsiyonun fiyat değerini gösterir (burada ikinci terim indirimlidir)
Çerçevemizde, bu tür fiyat hareketleri çeşitli yollarla daha doğru bir şekilde dahil edilebilir:
- Gün içi / gün içi fiyat hareketlerini içerecek şekilde aralığı daha ince aralıklara genişleterek beklenen getiri hesaplamalarının daha da hassaslaştırılması Mevcut günün faaliyetlerini yansıttığı için (zımni oynaklığa benzer) Beklenen getiri tarihi, gerçekçi değerlemeler için bugüne kadar iskonto edilmek ve bugünkü değerinden daha da düşürmek
Bu nedenle, nicel analiz için seçilecek varsayımlar, metodolojiler ve özelleştirmenin bir sınırı olmadığını görüyoruz. İşlem yapılacak varlığa veya dikkate alınacak yatırıma bağlı olarak, kendi geliştirdiği bir model üzerinde çalışılabilir. Farklı varlık sınıflarındaki fiyat hareketlerinin oynaklığının çok değiştiğini - hisse senetlerinin oynaklık eğriliği, forex oynaklığı olduğunu ve kullanıcıların modellerine uygulanabilir oynaklık modellerini dahil etmesi gerektiğini belirtmek önemlidir. Varsayımlar ve dezavantajlar herhangi bir modelin ayrılmaz bir parçasıdır ve modellerin gerçek dünya ticaret senaryolarında bilgili uygulanması daha iyi sonuçlar verebilir.
Alt çizgi
Karmaşık varlıklar piyasalara girerken ve hatta düz vanilya varlıkları karmaşık ticaret şekillerine girerken, değerleme için nicel modelleme ve analiz zorunlu hale gelmektedir. Ne yazık ki, hiçbir matematiksel model bir dizi dezavantaj ve varsayım olmadan gelmez. En iyi yaklaşım, varsayımları minimumda tutmak ve modellerin kullanımı ve uygulanabilirliğine ilişkin çizgilerin çizilmesine yardımcı olabilecek zımni dezavantajların farkında olmaktır.