Hisse Senedi Fiyatlarının Belirlenmesi
Herhangi bir ticari varlık için doğru fiyatlandırmayı kabul etmek zordur - bu nedenle hisse senedi fiyatları sürekli değişir. Gerçekte, şirketler değerlerini günlük bazda neredeyse hiç değiştirmezler, ancak hisse senedi fiyatları ve değerlemeleri neredeyse her saniyede değişir. Herhangi bir ticarete konu varlık için doğru fiyatlandırma konusunda fikir birliğine varmada güçlük, kısa ömürlü arbitraj fırsatlarına yol açar.
Ancak, başarılı yatırımların birçoğu, günümüzün değerlemesinde basit bir soruya dayanmaktadır - gelecekteki beklenen getirinin bugünkü doğru fiyatı nedir?
Binom Opsiyon Değerlemesi
Rekabetçi bir pazarda, arbitraj fırsatlarından kaçınmak için, özdeş ödeme yapılarına sahip varlıkların aynı fiyata sahip olması gerekir. Seçeneklerin değerlendirilmesi zor bir iş olmuştur ve fiyatlandırma değişiklikleri arbitraj fırsatlarına yol açmaktadır. Black-Scholes, fiyatlandırma seçenekleri için kullanılan en popüler modellerden biri olmaya devam ediyor, ancak sınırlamaları var.
İkili opsiyon fiyatlama modeli, fiyatlandırma seçenekleri için kullanılan bir başka popüler yöntemdir.
Örnekler
Mevcut piyasa fiyatı 100 $ olan belirli bir hisse senedi üzerinde bir çağrı seçeneği olduğunu varsayın. At the-the-money (ATM) seçeneği 100 $ 'lık bir grev fiyatına sahiptir ve bir yıl boyunca sona erme süresi vardır. Her ikisi de hisse senedi fiyatının bir yılda 110 dolara yükseleceğini veya 90 dolara düşeceğini kabul eden iki tüccar var.
Bir yıllık belirli bir zaman diliminde beklenen fiyat seviyeleri üzerinde anlaşırlar, ancak yukarı veya aşağı hareket olasılığına katılmazlar. Peter hisse senedinin fiyatının 110 dolara çıkma olasılığının% 60, Paula'nın% 40 olduğuna inanıyor.
Buna dayanarak, kim arama seçeneği için daha fazla fiyat ödemek ister? Muhtemelen Peter, yukarı hareketin yüksek bir olasılığını beklediğinden.
Binom Opsiyon Hesaplamaları
Değerlemenin bağlı olduğu iki varlık, çağrı opsiyonu ve dayanak stoktur. Katılımcılar arasında, temel hisse senedi fiyatının bir yıl içinde mevcut 100 $ 'dan 110 $ veya 90 $' a taşınabileceği konusunda bir anlaşma var ve başka fiyat hamlesi mümkün değil.
Arbitraj içermeyen bir dünyada, bu iki varlıktan oluşan bir portföy oluşturmanız gerekiyorsa, seçenek fiyatını ve temel hisse senedini arayın, öyle ki temel fiyatın nereye gittiğine bakılmaksızın - 110 $ veya 90 $ - portföyün net getirisi her zaman aynı kalır. Bu portföyü oluşturmak için temel ve kısa bir arama seçeneği "d" hissesi satın aldığınızı varsayalım.
Fiyat 110 $ 'a çıkarsa, hisseleriniz 110 $ * d değerinde olacaktır ve kısa arama ödemesinde 10 $ kaybedeceksiniz. Portföyünüzün net değeri (110d - 10) olacaktır.
Fiyat 90 $ 'a düşerse, hisseleriniz 90 $ * d değerinde olacak ve seçeneğin süresi bitecek. Portföyünüzün net değeri (90d) olacaktır.
H (d) −m = l (d) burada: h = Altta yatan en yüksek potansiyel fiyat = Dayanak hisse sayısım = Kısa çağrı getirisinde kayıp para = En düşük potansiyel dayanak fiyat
Dolayısıyla, yarım pay satın alırsanız, kesirli satın alımların mümkün olduğunu varsayarak, bir yılın belirli bir zaman dilimi içinde değerinin her iki olası durumda da aynı kalması için bir portföy oluşturmayı başarabilirsiniz.
110d-10 = 90dd = 21
(90d) veya (110d - 10) = 45 ile gösterilen bu portföy değeri, bir yıl aşağıdır. Bugünkü değerini hesaplamak için risksiz getiri oranı ile iskonto edilebilir (% 5 varsayılır).
Mevcut Değer = 90d × e (−5% × 1 Yıl) = 45 × 0.9523 = 42.85
Şu anda portföy, stock dayanak hisse senedinin payı (100 $ piyasa fiyatıyla) ve bir kısa çağrıdan oluştuğundan, bugünkü değere eşit olmalıdır.
21 × 100−1 × Arama Fiyatı = 42, 85 $ Arama Fiyatı = 7, 14 $, yani bugünün arama fiyatı
Bu, portföy fiyatının, dayanak fiyatın hangi yöne gittiğine bakılmaksızın aynı kaldığı varsayımına dayandığı için, yukarı veya aşağı hareket olasılığı herhangi bir rol oynamaz. Altta yatan fiyat hareketlerinden bağımsız olarak portföy risksiz kalır.
Her iki durumda da (110 $ 'a ve aşağı 90 $' a taşındığı varsayılır), portföyünüz riske tarafsızdır ve risksiz getiri oranı kazanır.
Bu nedenle, her iki tüccar da Peter ve Paula, yukarı hareket olasılıkları (% 60 ve% 40) hakkındaki farklı algılarına rağmen, bu çağrı seçeneği için aynı 7.14 $ ödemeye hazır olacaklardı. Bireysel olarak algılanan olasılıkları, seçenek değerlemesinde önemli değildir.
Bunun yerine, bireysel olasılıkların önemli olduğunu varsayarsak, arbitraj fırsatları kendilerini sunmuş olabilir. Gerçek dünyada, bu tür arbitraj fırsatları küçük fiyat farklarıyla var olur ve kısa vadede yok olur.
Ancak, tüm bu hesaplamalarda çok değişkenlik, seçenek fiyatlandırmasını etkileyen önemli ve hassas bir faktör nerede?
Oynaklık, sorunun tanımının doğası tarafından zaten dahil edilmiştir. İki (ve sadece iki — dolayısıyla “binom” adı) fiyat seviyelerinin (110 $ ve 90 $) olduğu varsayıldığında, oynaklık bu varsayımda örtüktür ve otomatik olarak (bu örnekte her iki şekilde% 10) bulunur.
Siyah okullar
Ancak bu yaklaşım, yaygın olarak kullanılan Black-Scholes fiyatlandırması ile doğru ve tutarlı mı? Opsiyon hesap makinesi sonuçları (İKT'nin izniyle) hesaplanan değerle yakından eşleşir:
Ne yazık ki, gerçek dünya “sadece iki devlet” kadar basit değildir. Hisse senedi, sona erme zamanından önce birkaç fiyat seviyesine ulaşabilir.
Tüm bu çoklu seviyeleri sadece iki seviye ile sınırlandırılmış bir binom fiyatlandırma modeline dahil etmek mümkün müdür? Evet, bu çok mümkün, ama bunu anlamak basit bir matematik gerektiriyor.
Basit Matematik
Bu sorunu ve çözümü genelleştirmek için:
"X" bir hisse senedinin güncel piyasa fiyatıdır ve "X * u" ve "X * d" yıllar sonra yukarı ve aşağı hareketlerin gelecekteki fiyatlarıdır. "U" faktörü yukarı hareketini gösterdiğinden ve "d" sıfır ile bir arasında olacağından birden büyük olacaktır. Yukarıdaki örnek için, u = 1.1 ve d = 0.9.
Çağrı seçeneği getirileri, sona erme sırasında yukarı ve aşağı hareketler için "P yukarı " ve "P dn " dir.
VUM = s × X × u − Pup nerede: VUM = Yukarı hareket durumunda portföy değeri
VDM = s × X × d − Pdown nerede: VDM = Aşağı hareket durumunda portföy değeri
Her iki fiyat hareketinde de benzer değerleme için:
s x X, X, u-Pup = s x x x D-Pdown
s = X × (u − d) Pup −Pdown = için satın alınacak hisse sayısı = risksiz bir portföy
"T" yılın sonunda portföyün gelecekteki değeri:
Yukarı Hareket Durumunda = s × X × u − Pup = u − dPup −Pdown × u − Pup
Aşağı Hareket Durumunda = s × X × d − Pdown = u − dPup −Pdown × d − Pdown
Bugünün değeri, risksiz getiri oranı ile iskonto edilerek elde edilebilir:
PV = e (−rt) × burada: PV = Bugünkü Değer = Geri dönüş oranı = Yıl cinsinden süre
Bu, "s" hisselerinin X fiyatı üzerinden portföy tutma ile eşleşmeli ve kısa çağrı değeri "c" (bugünkü tutma (s * X - c) bu hesaplamaya eşit olmalıdır.) "C" için çözüm nihayet verir gibi:
Not: Eğer çağrı primi kısaltılırsa, bir çıkarma değil, portföy için bir ek olmalıdır.
C = U-de (-rt) x
Denklemi yazmanın başka bir yolu, yeniden düzenlemektir:
"Q" kelimesini şu şekilde alıyor:
q = U-de (-rt) -d
Sonra denklem şöyle olur:
C = E (-rt) x (k x Pup + (1-k) x Pdown)
Denklemi “q” olarak yeniden düzenlemek yeni bir bakış açısı sundu.
Şimdi “q” yu altta yatanın yukarı hareket olasılığı olarak yorumlayabilirsiniz (“q” P yukarı ve “1-q” P dn ile ilişkilidir). Genel olarak, denklem günümüz opsiyon fiyatını, vade sonunda getirisinin iskonto edilmiş değerini temsil eder.
Bu "Q" Farklı
Bu “q” olasılığı, altta yatan hareketin yukarı veya aşağı hareket etme olasılığından nasıl farklıdır?
VSP = q × X × u + (1 − q) × X × yer: VSP = t Zamanındaki Hisse Fiyatı
"Q" değerini değiştirip yeniden düzenleyerek, "t" anındaki hisse senedi fiyatı şu şekilde olur:
Hisse Senedi Fiyatı = e (rt) × X
İki devletin bu varsayılan dünyasında, hisse senedi fiyatı, risksiz bir varlık gibi, risksiz getiri oranı ile yükselir ve bu nedenle herhangi bir riskten bağımsız kalır. Yatırımcılar bu model altında riske kayıtsızdır, bu nedenle bu risk-nötr modeli oluşturmaktadır.
Olasılık “q” ve “(1-q)” risk-nötr olasılıklar, değerleme yöntemi ise risk-nötr değerleme modeli olarak bilinir.
Örnek senaryonun önemli bir gereksinimi vardır - gelecekteki getiri yapısı hassasiyetle gereklidir (seviye 110 ve seviye 90). Gerçek hayatta, adım bazlı fiyat seviyeleri hakkında bu kadar netlik mümkün değildir; aksine fiyat rastgele hareket eder ve birden fazla seviyeye yerleşebilir.
Örneği daha da genişletmek için, iki adımlı fiyat seviyelerinin mümkün olduğunu varsayın. İkinci adım nihai getirilerini biliyoruz ve bugün seçeneğe değer vermemiz gerekiyor (ilk adımda):
Geriye doğru çalışarak, ara birinci adım değerlemesi (t = 1'de) ikinci adımdaki nihai getiriler (t = 2) kullanılarak, daha sonra bu hesaplanan ilk adım değerlemesi (t = 1), günümüz değerlemesi (t = 0) bu hesaplamalar ile ulaşılabilir.
İkinci numarada opsiyon fiyatlaması elde etmek için, dördüncü ve beşinci ödemeler kullanılır. Üçüncüsünün fiyatını almak için beş ve altıda kazançlar kullanılır. Son olarak, iki ve üçte hesaplanan getiriler bir numaralı fiyatlandırmayı almak için kullanılır.
Bu örnekte, her iki adımda yukarı (ve aşağı) hareketler için aynı faktörün varsayıldığını unutmayın - u ve d, bileşik bir şekilde uygulanır.
Çalışan Bir Örnek
110 $ 'lık bir grev fiyatına sahip bir satış opsiyonunun şu anda 100 $' dan işlem gördüğünü ve bir yıl içinde sona erdiğini varsayalım. Yıllık risksiz oran% 5'tir. Altı ayda bir fiyatın% 20 artması ve% 15 azalması bekleniyor.
Burada u = 1.2 ve d = 0.85, x = 100, t = 0.5
yukarıda türetilmiş formülünü kullanarak
q = U-de (-rt) -d
q = 0.35802832 alıyoruz
nokta 2'deki koyma opsiyonunun değeri, P2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) burada: p = put seçeneğinin fiyatı
P yukarı koşulunda, altta yatan = 100 * 1.2 * 1.2 = 144 $ olacaktır.
P updn koşulunda, temel alınan = 100 * 1.2 * 0.85 = 102 $ olur ve P updn = 8 $ olur
P dndn koşulunda, temel alınan = 100 * 0, 85 * 0, 85 = 72, 25 dolar, P dndn = 37, 75 dolar olur
p 2 = 0.975309912 * (0.35802832 * 0 + (1-0.35802832) * 8) = 5.008970741
Benzer şekilde, p 3 = 0.975309912 * (0.35802832 * 8 + (1-0.35802832) * 37.75) = 26.42958924
p1 = E (-rt) x (k x p2 + (1-k) p3)
Bu nedenle, satma opsiyonunun değeri, p 1 = 0.975309912 * (0.35802832 * 5.008970741 + (1-0.35802832) * 26.42958924) = 18.29 dolar.
Benzer şekilde, binom modelleri, birden fazla adım ve seviyeyi daha da iyileştirmek için tüm seçenek süresini kırmanıza izin verir. Bilgisayar programlarını veya elektronik tabloları kullanarak, istenen seçeneğin bugünkü değerini elde etmek için her seferinde bir adım geriye doğru çalışabilirsiniz.
Başka bir örnek
Dokuz ay sürecek Avrupa tipi bir ödeme seçeneği, 12 ABD doları tutarında bir grev fiyatı ve 10 ABD doları olarak geçerli bir fiyatın olduğunu varsayalım. Tüm dönemler için% 5 risksiz bir oran olduğunu varsayın. Her üç ayda bir, altta yatan fiyatın% 20 yukarı veya aşağı hareket edebileceğini ve bize u = 1.2, d = 0.8, t = 0.25 ve üç aşamalı bir binom ağacı verebileceğini varsayın.
Kırmızı, altta yatan fiyatları, mavi ise satış opsiyonlarının getirisini gösterir.
Risk-nötr olasılığı "q", 0.531446'yı hesaplar.
Yukarıdaki "q" değeri ve t = dokuz aylık getiri değerleri kullanılarak, t = altı aylık karşılık gelen değerler şu şekilde hesaplanır:
Ayrıca, bu hesaplanan değerleri t = 6'da kullanarak, t = 3'teki ve sonra t = 0'daki değerler şunlardır:
Bu, bir satış opsiyonunun bugünkü değerini 2.18 $ olarak verir, Black-Scholes modelini (2.30 $) kullanarak hesaplamalar yaparken bulabileceğinize oldukça yakındır.
Alt çizgi
Bilgisayar programlarını kullanmak bu yoğun hesaplamaları kolaylaştırabilse de, gelecekteki fiyatların tahmini, opsiyon fiyatlaması için binom modellerinin önemli bir sınırlaması olmaya devam etmektedir. Zaman aralıkları ne kadar ince olursa, her dönemin sonunda getirileri yüksek düzey hassasiyetle tahmin etmek o kadar zorlaşır.
Bununla birlikte, farklı dönemlerde beklenen değişiklikleri dahil etme esnekliği bir artıdır, bu da erken egzersiz değerlemeleri de dahil olmak üzere Amerikan seçeneklerinin fiyatlandırılması için uygundur.
Binom modeli kullanılarak hesaplanan değerler, Black-Scholes gibi diğer yaygın olarak kullanılan modellerden hesaplanan değerlerle yakından eşleşir; bu, binom modellerinin seçenek fiyatlandırması için yararlılığını ve doğruluğunu gösterir. Binom fiyatlandırma modelleri, bir tüccarın tercihlerine göre geliştirilebilir ve Black-Scholes'a alternatif olarak çalışabilir.