İçindekiler
- Normal (Çan Eğrisi) Dağılımı
- Risk ve Getiri
- Modern Portföy Teorisi
- Yapı Taşları
- MPT'ye Hızlı Bir Örnek
- MPT ve Dağıtımdaki Zorluklar
- Alt çizgi
Normal dağılım, tüm değerlerini simetrik bir şekilde çizen olasılık dağılımıdır ve sonuçların çoğu olasılık ortalamasının etrafında yer alır.
Normal (Çan Eğrisi) Dağılımı
Veri setleri (100 insanın yüksekliği, bir sınıfta 45 öğrenci tarafından elde edilen işaretler, vb. Gibi), aynı veri noktasında veya aynı aralıkta birçok değere sahip olma eğilimindedir. Veri noktalarının bu dağılımına normal veya çan eğrisi dağılımı denir.
Örneğin, 100 kişiden oluşan bir grupta, 10 kişi 5 feet'in altında olabilir, 65 kişi 5 ila 5.5 feet arasında olabilir ve 25 kişi 5.5 feet'in üzerinde olabilir. Bu aralığa bağlı dağılım aşağıdaki gibi çizilebilir:
Benzer şekilde, herhangi bir veri kümesi için grafiklerde çizilen veri noktaları farklı dağıtım tiplerine benzeyebilir. En yaygın üç tanesi sola hizalı, sağa hizalı ve karışık dağılımlardır:
Bu grafiklerin her birindeki kırmızı eğilim çizgisine dikkat edin. Bu kabaca veri dağıtım eğilimini gösterir. İlk “SOL Hizalanmış Dağıtım”, veri noktalarının çoğunun daha düşük aralıkta olduğunu gösterir. İkinci “SAĞ Hizalanmış Dağıtım” grafiğinde, veri noktalarının çoğu aralığın üst ucunda yer alırken sonuncusu “Karmakarışık Dağıtım”, net bir eğilim olmaksızın karışık bir veri kümesini temsil eder.
Veri noktalarının dağılımının merkezi bir değer etrafında olma eğiliminde olduğu ve bu grafiğin, her iki tarafta eşit olarak dengeli, merkezde en fazla sayıda veri noktasının yoğunlaştığı mükemmel bir normal dağılım gösterdiği birçok durum vardır.
İşte mükemmel, normal olarak dağıtılmış bir veri kümesi:
Buradaki merkezi değer 50'dir (en fazla veri noktasına sahip olan) ve dağıtım 0 ve 100 (en az sayıda veri noktasına sahip olan) aşırı uç değerlerine eşit olarak azalır. Normal dağılım, her iki taraftaki değerlerin yarısı ile merkezi değer etrafında simetriktir.
Birçok gerçek hayat örneği çan eğrisi dağılımına uygundur:
- Adil bir madeni parayı birçok kez atın (100 kez veya daha fazla söyleyin) ve kafaların ve kuyrukların dengeli bir normal dağılımını elde edersiniz. Bir çift adil zar birkaç kez (100 kez veya daha fazla söyleyin) toplayın ve sonuç dengeli, normal olacak dağıtım, sayı 7 etrafında merkezlenmiş ve 2 ve 12 aşırı uç değerlerine eşit olarak sivrileşen bir gruptaki bireylerin yüksekliği ve bir sınıftaki insanlar tarafından elde edilen işaretler, normal dağılım modellerini takip eder. log değerleri Forex kurları, fiyat endeksleri ve hisse senedi fiyatlarının normal dağıtıldığı varsayılmaktadır.
Risk ve Getiri
Herhangi bir yatırımın iki yönü vardır: risk ve getiri. Yatırımcılar mümkün olan en yüksek getiri için mümkün olan en düşük riski ararlar. Normal dağılım, bu iki yönü, getiri ortalaması ve risk için standart sapma ile ölçmektedir. (Daha fazla bilgi için, bkz. "Ortalama-Varyans Analizi.")
Ortalama veya Beklenen Değer
Hisse fiyatının belirli bir ortalama değişikliği günlük bazda% 1, 5 olabilir - yani ortalama% 1, 5 artar. Bu ortalama değere veya getiriyi gösteren beklenen değere, söz konusu hisse senedinin tarihsel günlük fiyat değişikliklerini içeren yeterince büyük bir veri kümesindeki ortalama hesaplanarak ulaşılabilir. Ortalama ne kadar yüksekse o kadar iyidir.
Standart sapma
Standart sapma, değerlerin ortalamadan ortalamadan sapma miktarını gösterir. Standart sapma ne kadar yüksek olursa, yatırım o kadar riskli olur, çünkü daha fazla belirsizliğe yol açar.
İşte bunun grafik gösterimi:
Bu nedenle, normal dağılımın ortalama ve standart sapması yoluyla grafiksel gösterimi, hem getiri hem de riskin açıkça tanımlanmış bir aralıkta gösterilmesini sağlar.
Bazı veri kümeleri normal dağılım modelini takip ederse, ortalamasının hangi getirileri bekleyeceğini bilmemize ve standart sapmasının değerlerin yaklaşık% 68'inin olduğunu bilmemize yardımcı olacağını bilmeye yardımcı olur (ve kesin olarak emin olabiliriz). 1 standart sapma içinde, % 95 2 standart sapma içinde ve değerlerin% 99'u 3 standart sapma içinde olacaktır. Ortalaması 1.5 ve standart sapması 1 olan bir veri kümesi, ortalama 1.5 ve standart sapması 0.1 olan başka bir veri kümesinden çok daha risklidir.
Seçilen her bir varlık için bu değerleri bilmek (yani hisse senetleri, tahviller ve fonlar) bir yatırımcıyı beklenen getiri ve risklerden haberdar edecektir.
Bu konsepti uygulamak ve riski ve tek bir hisse senedi, tahvil veya fondan geri dönüşü temsil etmek kolaydır. Ancak bu, birden fazla varlık portföyüne genişletilebilir mi?
Bireyler tek bir hisse senedi veya tahvil satın alarak veya yatırım fonuna yatırım yaparak ticarete başlarlar. Yavaş yavaş, varlıklarını artırma ve birden fazla hisse senedi, fon veya diğer varlıkları satın alma ve böylece bir portföy oluşturma eğilimindedirler. Bu artımlı senaryoda, bireyler kendi stratejilerini bir strateji veya çok önceden düşünülmeden oluştururlar. Profesyonel fon yöneticileri, tüccarlar ve piyasa yapıcılar, “normal dağılım” kavramı üzerine kurulan modern portföy teorisi (MPT) adı verilen matematiksel bir yaklaşım kullanarak portföylerini oluşturmak için sistematik bir yöntem izlerler.
Modern Portföy Teorisi
Modern portföy teorisi (MPT), çeşitli varlıkların oranlarını seçerek bir portföyün belirli bir portföy riski için beklenen getirisini en üst düzeye çıkarmayı amaçlayan sistematik bir matematiksel yaklaşım sunmaktadır. Alternatif olarak, belirli bir beklenen getiri seviyesi için riski en aza indirmeyi de teklif eder.
Bu amaca ulaşmak için, portföye dahil edilecek varlıklar sadece kendi bireysel değerlerine göre değil, her varlığın portföydeki diğer varlıklara göre nasıl performans göstereceğine göre seçilmelidir.
Özetle, MPT olası en iyi sonuçlar için portföy çeşitlendirmesinin en iyi şekilde nasıl elde edileceğini tanımlar: kabul edilebilir bir risk seviyesi için maksimum getiri veya istenen getiri seviyesi için minimum risk.
Yapı Taşları
MPT, mucitlerinin Noble Ödülü kazandığı ortaya çıktığında devrimci bir kavramdı. Bu teori, yatırımdaki çeşitliliği yönlendirmek için başarılı bir matematiksel formül sağladı.
Çeşitlendirme, korelasyonlu olmayan hisse senetleri, sektörler veya varlık sınıflarına yatırım yaparak “bir sepetteki tüm yumurtalar” riskini ortadan kaldıran bir risk yönetim tekniğidir. İdeal olarak, bir varlığın portföydeki olumlu performansı diğer varlıkların negatif performansını iptal edecektir.
Farklı varlıkları olan portföyün ortalama getirisini almak için kurucu varlıkların getirilerinin oransal ağırlıklı kombinasyonu hesaplanmaktadır.
İstatistiksel hesaplamaların ve normal dağılımın doğası nedeniyle, toplam portföy getirisi (Rp) şu şekilde hesaplanır:
Rp Σwi Ri =
W i'nin portföydeki varlığın i orantılı ağırlığı olduğu toplam (∑), Ri, varlık i'nin getirisi (ortalama) 'dır.
Portföy riski (veya standart sapma), tüm varlık çiftleri için (çiftte birbirlerine göre) dahil edilen varlıkların korelasyonlarının bir fonksiyonudur.
İstatistiksel hesaplamaların ve normal dağılımın doğası nedeniyle, genel portföy riski (Std-dev) p şu şekilde hesaplanır:
(Std-dev) p = sqrt
Burada, cor-cof, i ve j varlıklarının getirileri arasındaki korelasyon katsayısıdır ve sqrt kare köküdür.
Bu, her bir varlığın diğerine göre göreceli performansını dikkate alır.
Bu matematiksel olarak karmaşık görünse de, burada uygulanan basit kavram sadece bireysel varlıkların standart sapmalarını değil, aynı zamanda birbirleriyle ilgili olanları da içerir.
Burada Washington Üniversitesi'nden iyi bir örnek alabilirsiniz.
MPT'ye Hızlı Bir Örnek
Bir düşünce deneyi olarak, sermaye verilmiş ve beklenen iki getiriye (A&B) ne kadar sermaye tahsis edilmesi gerektiğine dair bir portföy yöneticisi olduğumuzu varsayalım, böylece beklenen getiri en üst düzeye çıkarılır ve risk azaltılır.
Ayrıca aşağıdaki değerlere sahibiz:
Ra = 0.175
Rb = 0.055
(Std-dev) a = 0.258
(Std-dev) b = 0.115
(Std-dev) ab = -0.004875
(Cor-cof) ab = -0.164
Her bir A & B varlığına eşit 50-50 tahsisiyle başlayarak, Rp 0.115'e ve (Std-dev) p 0.1323'e gelir. Basit bir karşılaştırma bize bu 2 varlık portföyü için getirinin yanı sıra riskin her bir varlığın bireysel değerleri arasında olduğunu gösterir.
Ancak, amacımız portföyün getirisini sadece bireysel varlıkların ortalamasının üzerinde artırmak ve riski azaltmak, böylece bireysel varlıklarınkinden daha düşük olmasını sağlamaktır.
Şimdi A varlığında 1, 5 sermaye tahsis pozisyonu ve B varlığında -0, 5 sermaye tahsis pozisyonu alalım. (Negatif sermaye tahsisi, alınan sermaye ve pozitif sermayenin pozitif sermaye tahsisi olan fazlalarını satın almak için kullanılması anlamına gelir. başka bir deyişle, B stoğunu sermayenin 0, 5 katı olarak kısaltıyoruz ve bu parayı A hissesini 1, 5 kat sermaye için satın almak için kullanıyoruz.)
Bu değerleri kullanarak, Rp'yi 0.1604 ve (Std-dev) p'yi 0.4005 olarak alırız.
Benzer şekilde, A ve B varlığına farklı tahsis ağırlıkları kullanmaya devam edebilir ve farklı Rp ve (Std-dev) p setlerine ulaşabiliriz. İstenen getiriye (Rp) göre, en kabul edilebilir risk seviyesi (std-dev) p seçilebilir. Alternatif olarak, istenen risk seviyesi için mevcut en iyi portföy getirisini seçebilirsiniz. Her iki şekilde de, bu matematiksel portföy teorisi modeli ile, istenen risk ve getiri kombinasyonuyla verimli bir portföy oluşturma hedefini karşılamak mümkündür.
Otomatik araçların kullanımı, uzun manuel hesaplamalara gerek kalmadan, mümkün olan en iyi tahsis edilen oranları kolayca ve sorunsuz bir şekilde tespit etmeyi sağlar.
Etkili sınır, Sermaye Varlığı Fiyatlandırma Modeli (CAPM) ve MPT kullanan varlık fiyatlandırması da aynı normal dağıtım modelinden gelişir ve MPT'nin bir uzantısıdır.
MPT (ve Temelde Normal Dağılım) ile İlgili Zorluklar
Ne yazık ki, hiçbir matematiksel model mükemmel değildir ve her birinin yetersizlikleri ve sınırlamaları vardır.
Hisse senedi fiyatı getirilerinin normal dağılımın kendisini takip ettiği temel varsayımı defalarca sorgulanmaktadır. Değerlerin varsayılan normal dağılıma uymadığı durumlarda yeterli ampirik kanıt vardır. Karmaşık modellerin bu tür varsayımlara dayandırılması büyük sapmalarla sonuçlara yol açabilir.
MPT'ye geçildiğinde, sabit kalan korelasyon katsayısı ve kovaryans ile ilgili hesaplamalar ve varsayımlar (geçmiş verilere dayanarak) gelecekteki beklenen değerler için geçerli olmayabilir. Örneğin, tahvil ve hisse senedi piyasaları İngiltere pazarında 2001'den 2004'e kadar mükemmel bir korelasyon gösterdi. Gerçekte, bunun tersi 2001'den önceki uzun tarihsel dönemlerde gözlenmiştir.
Bu matematiksel modelde yatırımcı davranışı dikkate alınmamıştır. Kısmi sermaye dağılımı ve varlıkların kısaltılması olasılığı varsayılsa da vergiler ve işlem maliyetleri ihmal edilir.
Gerçekte, bu varsayımların hiçbiri doğru olmayabilir, yani gerçekleşen finansal getiriler beklenen kârlardan önemli ölçüde farklı olabilir.
Alt çizgi
Matematiksel modeller, bazı değişkenleri tek, izlenebilir sayılarla ölçmek için iyi bir mekanizma sağlar. Ancak varsayımların sınırlamaları nedeniyle modeller başarısız olabilir.
Portföy teorisinin temelini oluşturan normal dağılım, hisse senetleri ve diğer finansal varlık fiyat modelleri için geçerli olmayabilir. Portföy teorisinin kendi içinde, önemli finansal kararlar vermeden önce eleştirel olarak incelenmesi gereken birçok varsayım vardır.